Автомобиль колеса движутся по окружности

Парадокс колеса

На приведённом рисунке хорошо видно, что все точки расположенные на радиусе колеса при совершении им одного оборота занимают те же самые места, на которых они были до начала вращения. Иными словами все точки радиуса колеса за один оборот перемещаются на одно и то же расстояние.

В то же время из школьного курса математики известно, что длина окружности равна:

Если прокатить колесо по поверхности и затем замерить пройденный им путь, то он будет точно соответствовать длине его окружности. Таким образом, две точки колеса: центр вращения и точка на внешней окружности проходят путь точно соответствующий приведённому расчёту. Но вот в отношении меньших радиусов мы приходим к выводу, что траектория их движения противоречит каноническому утверждению.

Так путь пройденный точкой, расположенной на половине радиуса колеса (r = R/2) должен быть равен:

C(r) = пиR, т.е. в половину меньше траектории точки расположенной на внешней окружности.

Но на самом деле она проходит фактически путь вдвое больший.

Соотношение фактически пройденной траектории и фактической дины окружности описываемый соответствующим радиусом растёт с уменьшением радиуса, фактически до бесконечности. Но в точке вращения он вновь возвращается к единице.

Самое удивительное в том, что если вырезать любую внутреннюю часть колеса и измерить его окружность, то она точно будет соответствовать вычисленной по канонической формуле.

Рассмотренный парадокс усиливается в случае, если колесо прокатывается с внешней стороны другой окружности. В этом случае траектория внутренних радиусов становится больше траектории точки на внешнем радиусе. И, наоборот, при прокатывании с внутренней стороны их траектория становится меньше.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что траектория точек расположенных на внутренних радиусах колеса зависти не от величины собственного радиуса, а от радиуса внешней окружности. Что при этом происходит с материальными точками колеса расположенных на этих радиусах в пространстве остаётся загадкой.

Единственно разумное объяснение этого феномена предложил Галилей. Он считал, что поскольку фактическая траектория движения внутренних точек значительно больше фактической длины окружности, то точки внутренних радиусов проходят наблюдаемую траекторию с большей скоростью, чем это предписано им физикой [1]:

Фактически линейная скорость внутренних точек колеса должна описываться уравнением:

V = n*w*r, где n = R/r
R – внешний радиус колеса;
r – внутренний радиус.

Иными словами линейная скорость точек внутренних радиусов является величиной постоянной и зависит только от внешнего радиуса колеса.

Вывод прямо скажем обескураживающий, но иного разумного объяснения пока ни кто не предложил.

Математически парадокс колеса в интерпретации Галилея описывается следующим уравнением:

dV = w*(R-r), где
dV – изменение скорости движения внутренних точек колеса;
R – внешний радиус колеса;
r – внутренний радиус колеса.
При r = R dV = 0
При r = 0 dV = w*R

Иными словами, изменение скорости точек расположенных на внутренних радиусах колеса меняется пропорционально от 0 на внешнем радиусе до V=w*R в центре вращения колеса. Поэтому ось колеса перемещается в пространстве с той же скоростью, которая соответствует линейной скорости вращающегося движения внешней окружности колеса при его прямолинейном движении. Соответственно такую же скорость имеют и все внутренние точки колеса.

С физической точки зрения полученный результат интерпретируется как движение жёсткого стержня, расположенного перпендикулярно направлению линейного движения оси вращения. Если рассмотреть движение такого стержня без привязки его к вращательному движению, то не трудно заметить, что все материальные точки стержня имеют одну и ту же скорость.

Преобразование вращательного движения в линейно-поступательное в данном случае решается методом рычага в рамках курса теоретической механики, которой к сожалению во времена Галилея ещё не существовало.

[1] Очевидно, именно по этому, этот парадокс практически не обсуждается в научной литературе.

Поскольку один из комментаторов так возбудился после прочтения этой статьи, что внёс меня в свои чёрные списки, и у меня нет возможности ему ответить иным путём, поэтому использую материал статьи не по назначению.

Сазонов Сергей 3 сентября 2019 года в 12:54

К сожалению, найти указанный журнал в Интернете не смог, поэтому не смог лично ознакомиться со статьёй. Но уже само её название «ЦИКЛОИДА» говорит о том, Сергей Сазонов не видит разницы между прямой и циклоидой. В парадоксе колеса траектория меньшего радиуса разворачивается не в виде циклоиды, а в виде прямой линии. В этом то, как раз, и заключается парадокс. С другой стороны, то, что этим парадоксом интересовались Аристотель, Галилей, и возможно другие, не менее, замечательные умы человечества, говорит о том, что парадокс действительно существовал.
Уничижительное отношение к оппонентам явный признак ограниченной умственной деятельности. Конечно, можно было и не обращать внимание на подобные выпады, но, к сожалению, подобный уровень комментаторов встречается не так уж редко, поэтому считаю необходимым противостоять банальному хамству.

Источник

Физика автомобиля для игр.

Автор: Marco Monster

Введение

Эта статья рассказывает о поведении автомобилей в играх, а именно о физике автомобиля.

Одним из ключевых пунктов в упрощении физики транспортного средства является раздельная обработка продольной и боковой силы. Продольная сила работает в направлении корпуса автомобиля (или же в противоположном направлении). Это сила тяги, тормозящая сила, сила трения и сила сопротивления перемещению (= сопротивление воздуха). Вместе эти силы управляют ускорением или замедлением автомобиля, следовательно, и скоростью автомобиля. Боковые силы позволяют автомобилю поворачиваться. Эти силы вызваны поперечным трением на колесах. Мы также рассмотрим угловой момент скорости автомобиля и момент вращения, вызванные боковыми силами.

Примечание и соглашения

На протяжении все этой статьи я буду предполагать, что задние колеса являются ведущими (для четырех ведущих колес нужно применять необходимую адаптацию)

Все физические величины я буду измерять в единицах СИ (метры, килограммы, Ньютоны и т.д.).

Физика движения по прямой

Сначала рассмотрим автомобиль, двигающийся по прямой линии. Какие силы задействованы здесь? Прежде всего, это сила тяги, то есть сила, которая передается двигателем через задние колеса. Двигатель вращает колеса вперед (на самом деле он передает момент вращения на колеса), колеса «толкают назад» поверхность дороги, в результате поверхность дороги выталкивает колеса в противоположном направлении, то есть вперед. Сейчас мы просто положим, что сила тяги эквивалентна по величине переменной Engineforce, которая управляется непосредственно пользователем.

Так же, еще есть сопротивление вращения. Это вызвано трением между резиной и дорожной поверхностью, так как колеса прокручиваются, трением на осях и т.д. Мы обозначим это силой, которая пропорциональна скорости, с использованием другой константы.

При низких скоростях трение (F_rr) является основной силой сопротивления, при высоких скоростях F_drag превышает по значению F_rr. Приблизительно при 100 км/час (60 миль в час, 30 м/с) они равны ([Zuvich]). Это означает, что C_rr должен быть равен приблизительно 30-ти C_drag.

Обратите внимание, что если вы двигаетесь по прямой линии, то силы аэродинамического сопротивления и трения будут направлены противоположно силе тяги (F_traction). То есть вы вычитаете силу аэродинамического сопротивления из силы сцепления. И когда автомобиль движется с постоянной скоростью, то силы находятся в равновесии, и F_long равен нулю.

Ускорение (a) автомобиля (в м/с 2 ) определено равнодействующей силой автомобиля (в Ньютонах) и массой автомобиля М (в килограммах) по второму закону Ньютона:

Скорость автомобиля (в метрах в секунду) определяется, как интеграл ускорения через какое-то время (dt). Это звучит слишком сложным, но следующее уравнение поможет нам. Воспользуемся методом Эйлера для численного интегрирования.

Позиция автомобиля свою очередь определяется, как интеграл скорости по dt.

Используя эти три силы, мы уже довольно точно можем моделировать ускорение автомобиля. Вместе они также определяют максимальную скорость автомобиля для данной мощности двигателя. То есть, нет необходимости устанавливать максимальную скорость где-нибудь в коде, она автоматически вычисляется из уравнений. Дело в том, что уравнения формируют своего рода цикл отрицательной обратной связи. Если сила тяги (F_traction) превышает все другие силы, то автомобиль ускоряется. Увеличивающаяся скорость, также заставляет увеличиваться силы сопротивления. Равнодействующая сила уменьшается, а следовательно уменьшается и ускорение. В некоторой точке силы сопротивления и сила тяги компенсируют друг друга, и автомобиль достигает своей максимальной скорости для данной мощности двигателя.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Впервые о парадоксе колеса заговорили ещё до Аристотеля, однако он первый вплотную занялся его изучением. Затем над решением этой задачки бился Галилео Галилей. Хотя многим это покажется совершенно очевидным. Но давайте по порядку …

Аристотелево колесо — так называют обыкновенно кажущийся парадокс, представляющийся при движении колеса около оси, когда самое колесо катится на плоскости по прямой линии. Полагают, что Аристотель впервые заметил этот странный парадокс, который по этой причине и удержал наименование «Аристотелева колеса».

Положим, что круг, обращаясь вокруг своего центра, катится в то же время по прямой линии и с совершением полного оборота описывает прямую, коей длина равна окружности круга. Если в этом круге, который назовем главным, вообразим другой, меньший, одноцентренный с первым и движущийся вместе с ним, то по совершении большим кругом полного оборота малый круг опишет прямую линию, равную уже не своей окружности, а окружности главного круга. Пример подобного кажущегося парадокса можно видеть в движении каретного колеса, ступица которого при своем обращении перейдет прямую, большую своей окружности и равную окружности самого колеса. Приведенный пример, как известно, подтверждается ежедневным опытом.

Но тут рождается вопрос, как объяснить, что окружность ступицы описывает прямую, большую этой самой распрямленной окружности?

А если представить, что всё это правда? Тогда технически возможно, что колесо с окружностью в 2,54 сантиметра в состоянии пройти тот же путь за один оборот, что и колесо с окружностью, равной 1,6 километров.

Но такого просто не бывает. Длина окружности с меньшим радиусом не может быть равна длине окружности с большим радиусом. Так в чём же дело?

Решение Аристотелем данного парадокса заключается в ясном и последовательном изложении всех моментов факта, представляющего некоторое затруднение. Галилей, также пытавшийся объяснить приведенный парадокс, вообразил бесчисленное множество бесконечно малых пустот (vuldes infiniment petits), распределенных по двум прямым линиям, описываемым обоими кругами; он утверждал, что малый круг не касается точками своей окружности к пустым пространствам переходимой им прямой линии и, таким образом, описывает только линию, равную длине своей окружности. Нет надобности, кажется, доказывать слишком очевидную неосновательность подобного объяснения. Существуют и другие попытки ученых объяснить явление так называемого Ар. колеса, но все они большею частью неудовлетворительны.

Первое настоящее решение этого парадокса было предложено членом Парижской академии Дорту-де-Мераном (Dortous de Mairan) в 1715 г. Он объяснил кажущееся противоречие приведенного случаяскольжением ступицы колеса по прямой линии, переходимой точками ее окружности.

Можно разрешить затруднение еще и другим образом. Вообразим круг, обращающийся около своего центра в то время, как последний (т. е. центр) движется по прямой линии; очевидно, что прямолинейное движение центра вовсе не зависит от вращательного движения круга, а следовательно, и отношение скоростей, соответствующих обоим движениям, вполне произвольно. Очевидно, что легко уподобить катящееся на плоскости колесо с кругом, обращающимся около своего центра, между тем как этот центр движется параллельно упомянутой плоскости. Следовательно, так же легко вообразить движение колеса, как и движение круга.

Давайте проследим маршрут, который проходит каждая точка окружности от начала красной линии до её конца. Перемещайте свой палец по линии, обозначающей радиус круга, одновременно следя за траекторией, которую проходит малая окружность от начала пути до конца.

Затем проследите траекторию, которую проходит большая окружность от начала пути до конца. Очевидно, что точка на большей окружности проходит бо́льшую траекторию, а, следовательно, больший путь, чтобы добраться до той же точки.

Иначе говоря, можно ехать в Москву из Нижнего Новгорода через Владимир, а можно через Архангельск или Астрахань. Расстояние от Нижнего до Москвы остаётся неизменным, но пути, которые придётся проделать по этим маршрутам, далеко не одинаковы.

Можно это объяснить еще вот так: этот парадокс возник из-за непонимания разницы между словами «путь» и «перемещение». Перемещение будет одинаково в любом случае ( если вы переместите камень на километр при любом радиусе любая его точка переместится на километр) а вот путь они проходят разный, путь это то расстояние которое прошли точки пересечения линии, которая отсекает полный оборот, с окружностями и он разный)

В этом-то и заключается объяснение парадокса, над которым ломали голову самые выдающиеся умы человечества.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

Источник

Почему колеса при повороте руля поворачиваются на разный угол?

Если повернуть руль до упора, выйти из машины и посмотреть на нее спереди, можно заметить, что колеса повернуты под разными углами: одно вывернуто сильнее, чем другое. Но это не неисправность, а наоборот, точный инженерный расчет, который в этом году празднует свой юбилей – ему исполняется ровно 200 лет. Почему рулевое управление так спроектировано, и почему нельзя было бы сделать иначе?

О твет на этот вопрос лежит на поверхности: представьте себе, что автомобиль движется по кругу по часовой стрелке – в этом случае окружность, по которой будет двигаться переднее правое колесо, будет меньше, чем окружность, описываемая левым. Соответственно, при постоянной скорости автомобиля колеса на одной оси будут вращаться с разной скоростью. Если бы колеса были повернуты на одинаковый угол, то внутреннее колесо, стремясь двигаться так же, как наружное, постоянно проскальзывало бы и вызывало проскальзывание наружного – при этом поведение автомобиля в повороте было бы непредсказуемым, а износ шин – катастрофическим. Наглядно это можно видеть на многоосных тележках грузовиков и прицепов: не поворачивающиеся колеса в повороте движутся с проскальзыванием, и шины изнашиваются быстро и неравномерно. Соответственно, для решения этих проблем и обеспечения правильного движения управляемых колес по их траектории они и поворачиваются на разные углы.

Сама проблема проскальзывания внутреннего колеса в повороте была актуальна задолго до массового распространения автомобилей – ведь те же проблемы были и у конных повозок. Собственно, именно на конной повозке рулевое управление, решающее эту проблему, и дебютировало: в 1817 году его изобрел Георг Ланкеншпергер, а в 1918 году запатентовал в Англии его агент Рудольф Аккерман. С тех пор принцип поворота управляющих колес на разные углы в повороте так и называется – принцип Аккермана.

Чтобы обеспечить нужные углы поворота колес, геометрия рулевой трапеции рассчитывается по единой условной схеме. В ней поперечная рулевая тяга короче управляющей оси и смещена за нее, а поворотные рулевые рычаги лежат на линии между осью поворота передних колес и центром задней оси автомобиля. Для того, чтобы проще было понять это сложное на первый взгляд объяснение, достаточно взглянуть на простую схему ниже.

Соответственно, при повороте колес в такой схеме они оказываются повернуты на разные углы – внутреннее поворачивается больше, а наружное меньше. При этом центры окружностей, по которым движутся колеса, совпадают, а радиус окружности для наружного колеса — это фактически радиус разворота автомобиля «от бордюра до бордюра» с поправкой на ширину шины.

Стоит отметить, что изображение выше – схематическое, и рулевое управление автомобиля, разумеется, сложнее, чем то, что изображено на схеме. Однако общая геометрия справедлива для всех «гражданских» автомобилей.

В автоспорте подход может меняться: к примеру, на некоторых гоночных автомобилях ситуация с углами поворота колес может быть даже обратной для компенсации бокового увода колеса в скоростных поворотах, а в дрифте передние колеса стараются сделать параллельными даже в поворотах, чтобы снизить износ передних шин при постоянном движении в управляемом заносе. Но это – крайности, не актуальные для обычных серийных машин.

Кстати, в самом начале мы не зря упомянули не только разные пути, которые проходят в повороте колеса, но и разные скорости их вращения. Для того, чтобы обеспечить возможность вращения колес на одной оси с разными скоростями, как мы уже рассказывали, нужен дифференциал.

Источник

Почему вы не умеете ездить по круговому движению – разбираем тонкости

Многие читатели, каждодневно проезжающие по кругу, сейчас задумались, а многие, которых большинство, уже ответили неправильно. И бьюсь об заклад, что среди этого большинства есть лица с 20- и 30-летним водительским стажем.

Инструкторы и преподаватели автошкол, сотрудники ГИБДД и, может быть, еще немногие автоюристы, а также редкие грамотные водители могут не читать эту статью, поскольку, как вы уже поняли, она адресована не вам, а остальным 95% автомобилистов.

Эти самые 95% либо не знают ПДД в части проезда круговых перекрестков, либо неправильно их интерпретируют. Но это неудивительно! В ПДД нет ни отдельной главы, ни отдельного пункта, разъясняющего водителям правильное движение по кругу. За исключением пункта 13.9, но в нем рассказывается о въезде на круг, когда он является главной дорогой и когда не главной.

Там все просто, надо лишь руководствоваться знаками. Если перед въездом на круг установлен знак 4.3 «Круговое движение» в сочетании со знаком 2.4 «Уступите дорогу» или 2.5 «Движение без остановки запрещено», то для вас круг является главной дорогой. Если же просто один знак «Круговое движение», то вы при въезде на круг имеете преимущество, потому как являетесь помехой справа для тех, кто уже едет по кругу.

И еще раз. При отсутствии знаков приоритета по умолчанию преимущество имеют те, кто ЗАЕЗЖАЕТ на перекресток.

Но это не единственная сложность.

С какой полосы можно въезжать на круговое движение?

Пункт 8.5 ПДД гласит, что перед поворотом направо, налево или разворотом водитель обязан заблаговременно занять соответствующее крайнее положение на проезжей части, предназначенной для движения в данном направлении, кроме случаев, когда совершается поворот при въезде на перекресток, где организовано круговое движение.

А это значит, что на круг мы можем въезжать с любой полосы проезжей части. Однако следует понимать, что если мы въезжаем на перекресток с круговым движением с правой полосы, то первостепенно на круге мы должны занять правую полосу, а если с левой полосы, то, соответственно, должны занять внутреннюю левую полосу. Со средней полосы нас ждет, соответственно, только средняя полоса.

Итого:

Переходим к следующему вопросу: какой поворотник включать при въезде на круговой перекресток?

Когда я пропускаю машины, движущиеся на круге, который является главным, чувствую себя белой вороной, потому что я один с включенным сигналом правого поворота, все же остальные стоят почему-то с левым поворотником.

Господа! Почему левый поворотник? Круг – это тоже перекресток, если вы на перекрестке хотите повернуть налево, вы включаете левый сигнал поворота, если направо, то правый. Если вы перестраиваетесь направо, вы включаете правый поворотник, если налево, то, соответственно, левый. Правильно? А чем хуже круг?

При въезде на круг вы всегда едете направо, а следовательно, и сигнал поворота нужно включать правый. А чтобы проще было, надо просто запомнить, куда руль крутите, такой и поворотник включаете. При въезде на круг вы руль крутите всегда вправо, значит, и поворотник нужен правый, только не забывайте о заблаговременном его включении. С этим надеюсь, разобрались.

Идем дальше. По кругу можно двигаться абсолютно по любой полосе, по какой больше нравится, однако кружиться по правой полосе будет совсем не безопасно. Поскольку каждый второй норовит выехать с круга с внутренней левой или средней полосы. При этом абсолютно на вас не обращая внимания, уверенно полагая, что раз вы движетесь по крайней правой полосе, значит, вы сейчас с круга будете съезжать. А если уж так получилось, что вы ему помешали и продолжили движение по кругу, то он в лучшем случае бьет по тормозам и начинает грозно вам сигналить с недовольной физиономией, что-то там в ваш адрес выкрикивая, типа вы чайник. И вы ему действительно помешали, а как иначе? Вы же находились от него справа, то есть являлись для него помехой справа.

И тут мы плавно переходим к последнему и самому главному вопросу: с какой полосы можно выезжать с круга?

Снова обращаемся к пункту 8.5 ПДД и вспоминаем, что перед поворотом направо, налево или разворотом водитель обязан заблаговременно занять соответствующее крайнее положение на проезжей части, – это правило относится и к перекрестку с круговым движением. То есть выезжать с круга мы можем только с крайней правой полосы! Единственное исключение – если на площади нанесена разметка, диктующая иные правила. То есть если на асфальте нарисованы стрелки направо с двух рядов, а вверху еще и знаки движения по полосам, то следуем им. Если разметки и знаков нет, то только с правого ряда и никак иначе.

А в жизни как? Я каждый день при движении по крайней правой полосе круга ударяю по тормозам и продолжительно сигналю первому встречному, изъявившему желание выехать из круга с внутренней полосы. Вы не ослышались – первому встречному, потому что абсолютно каждый, без исключения, с кругового движения выезжает с внутренней левой или средней полосы, если, конечно, до съезда он двигался по этой же полосе. Люди даже и не задумываются, что они неправы, что они нарушают Правила дорожного движения и в случае ДТП будут признаны виновными. Мало того что они с нарушением закона выезжают с круга, так еще и не пропускают «помеху справа», что также является грубым нарушением Правил.

Таким образом, при движении по кругу по крайней левой или средней полосе, вам, прежде чем выехать с круга, нужно на самом круге перестроиться в крайний правый ряд и только потом уже можно спокойно выезжать из кругового движения. Но при таком перестроении вы, разумеется, должны всех, кто справа, пропускать, а это сделать в условиях плотного трафика не так-то просто. Поэтому рекомендую стараться въезжать на перекресток с круговым движением уже с крайнего правого ряда, и тогда уже на самом кругу вам никого пропускать не придется.

Что в итоге?

При въезде на перекресток с круговым движением с крайнего правого ряда при наличии знака «Уступи дорогу» вы обязаны пропускать только тех, кто движется по крайней правой полосе круга. Пропустив их, вы можете въезжать на крайний правый ряд круга и дальше, не дожидаясь свободной внутренней левой полосы круга, продолжать движение по своей полосе. Но будьте готовы к тому, что те, кто движутся по левому ряду, наверняка будут съезжать с круга с убеждением, что вы обязаны их пропускать. Не только из-за того, что вы на крайней правой полосе круга, но и по той причине, что вы еще якобы и вовсе не заехали на круг.

При этом я ни в коем случае не «благословляю» вас на создание аварийных ситуаций. Если кто-то перестраивается в ваш ряд и делает это с железобетонной уверенностью в собственной правоте, идти на таран не надо. Оттого, что ГИБДД признает вас невиновным, легче не станет, а вот машину придется чинить.

А вот если вы сами перестанете нарушать, а еще и расскажете паре своих друзей о том, как правильно нужно ездить по кругу, то это будет намного полезнее во всех отношениях.

Источник